関数 $y = x^2 - 4x + 1$ (定義域 $a \le x \le a+1$) について、最小値と最大値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x + 1$ (定義域 $a \le x \le a+1$) について、最小値と最大値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 3$

よって、この放物線の軸は $x = 2$ です。

(1) 最小値を求める手順：

定義域 $a \le x \le a+1$ と軸 $x=2$ の位置関係によって場合分けを行います。

(i) $a+1 < 2$ つまり $a < 1$ のとき：

定義域は軸の左側にあり、$x=a+1$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 1 = a^2 - 2a - 2$

(ii) $a \le 2 \le a+1$ つまり $1 \le a \le 2$ のとき：

軸が定義域に含まれるので、頂点で最小値をとります。

最小値は $y = -3$

(iii) $2 < a$ のとき：

定義域は軸の右側にあり、$x=a$ で最小値をとります。

最小値は $y = a^2 - 4a + 1$

(2) 最大値を求める手順：

定義域 $a \le x \le a+1$ の中央の値は $x = a + \frac{1}{2}$ です。軸 $x=2$ とこの中央の値との位置関係で場合分けを行います。

(i) $a + \frac{1}{2} < 2$ つまり $a < \frac{3}{2}$ のとき：

軸は定義域の中央より右にあるため、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $y = a^2 - 4a + 1$

(ii) $a + \frac{1}{2} = 2$ つまり $a = \frac{3}{2}$ のとき：

$x = a$と$x = a + 1$ で同じ最大値をとります。

$y = a^2 - 4a + 1 = (\frac{3}{2})^2 - 4(\frac{3}{2}) + 1 = \frac{9}{4} - 6 + 1 = \frac{9 - 20}{4} = -\frac{11}{4}$

(iii) $a + \frac{1}{2} > 2$ つまり $a > \frac{3}{2}$ のとき：

軸は定義域の中央より左にあるため、$x=a+1$ で最大値をとります。

最大値は $y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 - 2a - 2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値：

$a < 1$ のとき、$a^2 - 2a - 2$

$1 \le a \le 2$ のとき、$-3$

$2 < a$ のとき、$a^2 - 4a + 1$

(2) 最大値：

$a < \frac{3}{2}$ のとき、$a^2 - 4a + 1$

$a = \frac{3}{2}$ のとき、$-\frac{11}{4}$

$a > \frac{3}{2}$ のとき、$a^2 - 2a - 2$