ベクトル $\vec{a} = (3, 4, 4)$ と $\vec{b} = (2, 3, -1)$ が与えられています。実数 $t$ を変化させるとき、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ の大きさ $|\vec{c}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 4, 4)$ と $\vec{b} = (2, 3, -1)$ が与えられています。実数 $t$ を変化させるとき、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ の大きさ $|\vec{c}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{c}$ を $t$ を用いて表します。

$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (3, 4, 4) + t(2, 3, -1) = (3+2t, 4+3t, 4-t)$

次に、$\vec{c}$ の大きさ $|\vec{c}|$ の2乗を計算します。

$|\vec{c}|^2 = (3+2t)^2 + (4+3t)^2 + (4-t)^2$

$|\vec{c}|^2$ を展開して整理します。

$|\vec{c}|^2 = (9 + 12t + 4t^2) + (16 + 24t + 9t^2) + (16 - 8t + t^2)$

$|\vec{c}|^2 = 14t^2 + 28t + 41$

$|\vec{c}|^2$ を $t$ について平方完成します。

$|\vec{c}|^2 = 14(t^2 + 2t) + 41 = 14(t^2 + 2t + 1 - 1) + 41 = 14(t+1)^2 - 14 + 41 = 14(t+1)^2 + 27$

$|\vec{c}|^2$ が最小になるのは、$(t+1)^2 = 0$ のとき、つまり $t = -1$ のときです。

このとき、$|\vec{c}|^2$ の最小値は $27$ なので、$|\vec{c}|$ の最小値は $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

$t = -1$ のとき、$\vec{c}$ の大きさの最小値は $3\sqrt{3}$ です。