空欄を埋める問題が4つあります。放物線の平行移動に関する問題です。 (1) $y = \frac{2}{3}(x-5)^2 - 6$ のグラフについて (2) $y = -5(x+7)^2 + 4$ のグラフについて (3) $y = -\frac{1}{4}x^2$ のグラフを点 $(-3, 9)$ が頂点となるように平行移動した放物線の式について (4) $y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 3$ のグラフについて

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

空欄を埋める問題が4つあります。放物線の平行移動に関する問題です。

(1) $y = \frac{2}{3}(x-5)^2 - 6$ のグラフについて

(2) $y = -5(x+7)^2 + 4$ のグラフについて

(3) $y = -\frac{1}{4}x^2$ のグラフを点 $(-3, 9)$ が頂点となるように平行移動した放物線の式について

(4) $y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 3$ のグラフについて

2. 解き方の手順

(1)

$y = \frac{2}{3}(x-5)^2 - 6$ のグラフは、基本形である $y = ax^2$ の $x$ を $x-p$ に、 $y$ を $y-q$ に置き換えたものです。

この問題の場合、$y = \frac{2}{3}x^2$ のグラフをx軸方向に5、y軸方向に-6だけ平行移動したものです。頂点は $(5, -6)$ となり、軸は $x=5$ です。係数が正であるため、下に凸です。

(2)

同様に、$y = -5(x+7)^2 + 4$ のグラフは、$y = -5x^2$ のグラフをx軸方向に-7、y軸方向に4だけ平行移動したものです。頂点は $(-7, 4)$ となり、軸は $x=-7$ です。係数が負であるため、上に凸です。

(3)

頂点が $(-3, 9)$ となるように、$y = -\frac{1}{4}x^2$ を平行移動するので、 $y = -\frac{1}{4}(x - (-3))^2 + 9 = -\frac{1}{4}(x+3)^2 + 9$ となります。

(4)

$y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 3$ のグラフは、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフをx軸方向に-4、y軸方向に-3だけ平行移動したものです。頂点は $(-4, -3)$ となり、軸は $x=-4$ です。係数が正であるため、下に凸です。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{2}{3}x^2$のグラフをx軸方向に $5$ 、y軸方向に $-6$ だけ平行移動したもので、頂点$(5, -6)$ 、軸は直線 $x=5$、下に凸である。

(2) $y = -5x^2$ のグラフをx軸方向に $-7$ 、y軸方向に $4$ だけ平行移動したもので、頂点$(-7, 4)$ 、軸は直線 $x=-7$、上に凸である。

(3) $y = -\frac{1}{4}(x + 3)^2 + 9$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフをx軸方向に $-4$ 、y軸方向に $-3$ だけ平行移動したもので頂点は $(-4, -3)$ 、軸は直線 $x=-4$、下に凸の放物線をえがく。