次の和を求めよ。 $2\cdot 4 + 3\cdot 5 + 4\cdot 6 + \cdots + (n+1)(n+3)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$2\cdot 4 + 3\cdot 5 + 4\cdot 6 + \cdots + (n+1)(n+3)$

2. 解き方の手順

与えられた和の一般項は $(k+1)(k+3)$で表される。この数列の第1項から第n項までの和を$S_n$とすると、

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S_n = \sum_{k=1}^{n} (k+1)(k+3)

$$$$

となる。

$(k+1)(k+3) = k^2 + 4k + 3$だから、

$$$$

S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 4k + 3) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3

$$$$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$なので、

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S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\cdot\frac{n(n+1)}{2} + 3n

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= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{12n(n+1)}{6} + \frac{18n}{6}

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= \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) + 12(n+1) + 18]

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= \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 + 12n + 12 + 18]

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= \frac{n}{6} [2n^2 + 15n + 31]

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= \frac{n(2n^2 + 15n + 31)}{6}

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3. 最終的な答え

$\frac{n(2n^2+15n+31)}{6}$