$a \geq 0$, $b \geq 0$のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。 $\frac{a+b}{2} \geq (\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2})^2$

1. 問題の内容

$a \geq 0$, $b \geq 0$のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

$\frac{a+b}{2} \geq (\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2})^2$

2. 解き方の手順

不等式の右辺を展開します。

$(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2})^2 = \frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}$

証明すべき不等式は

$\frac{a+b}{2} \geq \frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}$

両辺に4を掛けると

$2(a+b) \geq a+2\sqrt{ab}+b$

$2a+2b \geq a+2\sqrt{ab}+b$

$a-2\sqrt{ab}+b \geq 0$

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$は常に成立します。

等号が成り立つのは、

$\sqrt{a} = \sqrt{b}$

つまり、$a=b$のときです。

3. 最終的な答え

$\frac{a+b}{2} \geq (\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2})^2$は証明されました。

等号が成り立つのは$a=b$のときです。