80円のクッキー、50円のチョコレート、10円のキャンディーを組み合わせて200円にする組み合わせの数を求めます。ただし、どれかのお菓子を1つも買わない場合も考えます。

1. 問題の内容

80円のクッキー、50円のチョコレート、10円のキャンディーを組み合わせて200円にする組み合わせの数を求めます。ただし、どれかのお菓子を1つも買わない場合も考えます。

2. 解き方の手順

クッキーの個数を $x$、チョコレートの個数を $y$、キャンディーの個数を $z$ とします。すると、問題は次の式を満たす非負整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める問題となります。

$80x + 50y + 10z = 200$

この式を10で割ると、

$8x + 5y + z = 20$

となります。

まず、$x$ の値を固定して考えます。 $x$ は非負整数なので、$8x \le 20$ から $x \le 2.5$ なので、$x = 0, 1, 2$ の3つの場合が考えられます。

* $x = 0$ のとき： $5y + z = 20$

$y$ は非負整数なので、$5y \le 20$ から $y \le 4$ なので、$y = 0, 1, 2, 3, 4$ の5つの場合が考えられます。

$y$ の値が決まれば $z = 20 - 5y$ で $z$ の値も決まります。よって5通りの組み合わせがあります。

* $x = 1$ のとき： $8 + 5y + z = 20$ つまり $5y + z = 12$

$y$ は非負整数なので、$5y \le 12$ から $y \le 2.4$ なので、$y = 0, 1, 2$ の3つの場合が考えられます。

$y$ の値が決まれば $z = 12 - 5y$ で $z$ の値も決まります。よって3通りの組み合わせがあります。

* $x = 2$ のとき： $16 + 5y + z = 20$ つまり $5y + z = 4$

$y$ は非負整数なので、$5y \le 4$ から $y \le 0.8$ なので、$y = 0$ の1つの場合しか考えられません。

$y = 0$ ならば $z = 4$ となります。よって1通りの組み合わせがあります。

それぞれのケースの組み合わせの数を合計すると、$5 + 3 + 1 = 9$ となります。

3. 最終的な答え

9通り