$a \neq 0$とする。2つの2次方程式 $ax^2 - 3x + a = 0$ と $x^2 - ax + a^2 - 3a = 0$ がともに実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$a \neq 0$とする。2つの2次方程式 $ax^2 - 3x + a = 0$ と $x^2 - ax + a^2 - 3a = 0$ がともに実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \geq 0$ が成り立つことです。

まず、$ax^2 - 3x + a = 0$ の判別式を$D_1$とすると、

$D_1 = (-3)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 9 - 4a^2$

$D_1 \geq 0$より、$9 - 4a^2 \geq 0$

$4a^2 \leq 9$

$a^2 \leq \frac{9}{4}$

$-\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{3}{2}$

次に、$x^2 - ax + a^2 - 3a = 0$ の判別式を$D_2$とすると、

$D_2 = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 3a) = a^2 - 4a^2 + 12a = -3a^2 + 12a$

$D_2 \geq 0$より、$-3a^2 + 12a \geq 0$

$-3a(a - 4) \geq 0$

$3a(a-4) \leq 0$

$a(a-4) \leq 0$

$0 \leq a \leq 4$

ここで、$a \neq 0$ という条件があるので、$a > 0$ です。

したがって、 $-\frac{3}{2} \leq a \leq \frac{3}{2}$ と $0 \leq a \leq 4$ と $a \neq 0$ の共通範囲を求める。

$0 < a \leq \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$0 < a \leq \frac{3}{2}$