(1) $15^{15}$ は何桁の数字であるか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。 (2) $(\frac{1}{7})^{20}$ を小数で表したとき、小数第何位にはじめて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}7 = 0.8451$ とする。

1. 問題の内容

(1) $15^{15}$ は何桁の数字であるか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

(2) $(\frac{1}{7})^{20}$ を小数で表したとき、小数第何位にはじめて0でない数字が現れるか。ただし、$\log_{10}7 = 0.8451$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$15^{15}$ の常用対数を計算する。

$\log_{10}15^{15} = 15 \log_{10}15 = 15 \log_{10}(3 \times 5) = 15(\log_{10}3 + \log_{10}5)$

$\log_{10}5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$\log_{10}15^{15} = 15(0.4771 + 0.6990) = 15(1.1761) = 17.6415$

$15^{15} = 10^{17.6415} = 10^{17} \times 10^{0.6415}$

$10^{0.6415}$ は1以上10未満の数なので、$15^{15}$ は18桁の数である。

(2)

まず、$(\frac{1}{7})^{20}$ の常用対数を計算する。

$\log_{10}(\frac{1}{7})^{20} = 20 \log_{10} \frac{1}{7} = 20 (\log_{10}1 - \log_{10}7) = 20(0 - 0.8451) = 20(-0.8451) = -16.902$

$(\frac{1}{7})^{20} = 10^{-16.902} = 10^{-17+0.098} = 10^{-17} \times 10^{0.098}$

$10^{0.098}$ は1以上10未満の数なので、$(\frac{1}{7})^{20}$ は小数第17位にはじめて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

(1) 18桁

(2) 小数第17位