点$(x, y)$を通り、方向ベクトル $\vec{l}_\theta = (\cos \theta, \sin \theta)$ を持つ直線を $l_\theta$、方向ベクトル $\vec{l}_\phi = (\cos \phi, \sin \phi)$ を持つ直線を $l_\phi$ とする。ここで、$0 \le \theta < 2\pi$, $0 \le \phi < 2\pi$ である。関数 $$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases} $$ について、方向微分 $$ g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y), \quad g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x, y; \theta) $$ を考える。以下の問いに答えよ。 (1) $g_1(0, 0; \theta)$ を求めよ。$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で微分可能であることを用いてよい。 (2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2)$, $g_2(0, 0; \pi/2, 0)$ を求めよ。 (3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$ を求めよ。

1. 問題の内容

点$(x, y)$を通り、方向ベクトル $\vec{l}_\theta = (\cos \theta, \sin \theta)$ を持つ直線を $l_\theta$、方向ベクトル $\vec{l}_\phi = (\cos \phi, \sin \phi)$ を持つ直線を $l_\phi$ とする。ここで、$0 \le \theta < 2\pi$, $0 \le \phi < 2\pi$ である。関数

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$

について、方向微分

$$g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y), \quad g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x, y; \theta)$$

を考える。以下の問いに答えよ。

(1) $g_1(0, 0; \theta)$ を求めよ。$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で微分可能であることを用いてよい。

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2)$, $g_2(0, 0; \pi/2, 0)$ を求めよ。

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y)$ が $(0, 0)$ で微分可能であることから、方向微分の定義より

$$g_1(0, 0; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h \cos \theta, 0 + h \sin \theta) - f(0, 0)}{h}$$

$f(0, 0) = 0$ であるから、

$$g_1(0, 0; \theta) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h \cos \theta, h \sin \theta)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2(h \cos \theta)^3 (h \sin \theta) - 3(h \cos \theta) (h \sin \theta)^3}{(h \cos \theta)^2 + (h \sin \theta)^2} + (h \cos \theta) (h \sin \theta)^3}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2h^4 \cos^3 \theta \sin \theta - 3h^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{h^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} + h^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{2h^2 \cos^3 \theta \sin \theta - 3h^2 \cos \theta \sin^3 \theta + h^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} h(2 \cos^3 \theta \sin \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta + h^2 \cos \theta \sin^3 \theta) = 0$$

よって、$g_1(0, 0; \theta) = 0$。

(2) $g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x, y; \theta)$ であるから、

$$g_2(0, 0; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(0, 0; \theta) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(0 + h \cos \phi, 0 + h \sin \phi; \theta) - g_1(0, 0; \theta)}{h}$$

ここで、$g_1(0, 0; \theta) = 0$ であるから、

$$g_2(0, 0; \theta, \phi) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h \cos \phi, h \sin \phi; \theta)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial l_\theta}(h \cos \phi, h \sin \phi)}{h}$$

$g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \sin \theta$ より、

$g_2(0, 0; \theta, \phi) = 0$ が予想されるが、$g_1(x,y; \theta)$ は $(0,0)$ で微分可能とは限らないので注意が必要。

まず、$g_2(0, 0; 0, \pi/2)$ を求める。$\theta = 0, \phi = \pi/2$ より、

$$g_2(0, 0; 0, \pi/2) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h \cos (\pi/2), h \sin (\pi/2); 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(0, h; 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0, h) \cos 0 + \frac{\partial f}{\partial y}(0, h) \sin 0}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0, h)}{h}$$

ここで、

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \frac{(6x^2y - 3y^3 + y^3(x^2+y^2) + 2xy^3)(x^2+y^2) - (2x^3y - 3xy^3 + xy^5)(2x)}{(x^2+y^2)^2}$$

より、

$$\frac{\partial f}{\partial x}(0, y) = \frac{(-3y^3+y^5)y^2 - 0}{y^4} = \frac{-3y^5 + y^7}{y^4} = -3y + y^3$$

よって、

$$g_2(0, 0; 0, \pi/2) = \lim_{h \to 0} \frac{-3h + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (-3 + h^2) = -3$$

次に、$g_2(0, 0; \pi/2, 0)$ を求める。$\theta = \pi/2, \phi = 0$ より、

$$g_2(0, 0; \pi/2, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h \cos 0, h \sin 0; \pi/2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h, 0; \pi/2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(h, 0) \cos (\pi/2) + \frac{\partial f}{\partial y}(h, 0) \sin (\pi/2)}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(h, 0)}{h}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \frac{(2x^3 - 9xy^2 + 5xy^4)(x^2+y^2) - (2x^3y - 3xy^3 + xy^5)(2y)}{(x^2+y^2)^2}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = \frac{2x^3 \cdot x^2 - 0}{x^4} = \frac{2x^5}{x^4} = 2x$$

$$g_2(0, 0; \pi/2, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} = 2$$

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$ を求める。

$g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(h \cos (\pi/4), h \sin (\pi/4); \pi/4)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g_1(\frac{h}{\sqrt{2}}, \frac{h}{\sqrt{2}}; \pi/4)}{h}$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(\frac{h}{\sqrt{2}}, \frac{h}{\sqrt{2}}) \cos (\pi/4) + \frac{\partial f}{\partial y}(\frac{h}{\sqrt{2}}, \frac{h}{\sqrt{2}}) \sin (\pi/4)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\partial f}{\partial x}(\frac{h}{\sqrt{2}}, \frac{h}{\sqrt{2}}) + \frac{\partial f}{\partial y}(\frac{h}{\sqrt{2}}, \frac{h}{\sqrt{2}}))}{h}$$

$\frac{h}{\sqrt{2}} = r$ とおく。

$$\frac{\partial f}{\partial x} (r, r) = \frac{(6r^3 - 3r^3 + r^3(2r^2) + 2r^5)(2r^2) - (2r^4 - 3r^4 + r^6)(2r)}{(2r^2)^2} = \frac{(3r^3 + 4r^5)2r^2 - (-r^4 + r^6)2r}{4r^4} = \frac{6r^5 + 8r^7 + 2r^5 - 2r^7}{4r^4} = \frac{8r^5 + 6r^7}{4r^4} = 2r + \frac{3}{2} r^3$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} (r, r) = \frac{(2r^3 - 9r^3 + 5r^5)(2r^2) - (2r^4 - 3r^4 + r^6)(2r)}{(2r^2)^2} = \frac{(-7r^3 + 5r^5)(2r^2) - (-r^4 + r^6)(2r)}{4r^4} = \frac{-14r^5 + 10r^7 + 2r^5 - 2r^7}{4r^4} = \frac{-12r^5 + 8r^7}{4r^4} = -3r + 2r^3$$

$$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (2r + \frac{3}{2} r^3 - 3r + 2r^3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (-r + \frac{7}{2} r^3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (-\frac{h}{\sqrt{2}} + \frac{7}{2} (\frac{h}{\sqrt{2}})^3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (-\frac{h}{\sqrt{2}} + \frac{7}{2} \frac{h^3}{2\sqrt{2}})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{h}{2} + \frac{7}{8} h^3}{h} = -\frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $g_1(0, 0; \theta) = 0$

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2) = -3$, $g_2(0, 0; \pi/2, 0) = 2$

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = -\frac{1}{2}$