## 問題の解説

## 問題の解説

点 $(x, y)$ を通り、方向ベクトル $\vec{l_\theta} = (\cos\theta, \sin\theta)$ と $\vec{l_\phi} = (\cos\phi, \sin\phi)$ を持つ直線をそれぞれ $l_\theta$ と $l_\phi$ とする。関数 $f(x, y)$ は次のように定義される。

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

方向微分 $g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y)$ と $g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x, y; \theta)$ を考える。

(1) $g_1(0, 0; 0)$ を求めよ。$f(x, y)$ は $(0, 0)$ で微分可能であることを用いてよい。

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2)$ と $g_1(0, 0; \pi/2, 0)$ を求めよ。

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$ を求めよ。

## 解き方の手順

(1) $g_1(0, 0; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(0, 0)$ を求める。 $f(x, y)$ が $(0, 0)$ で微分可能であることから、方向微分の定義より、

$g_1(0, 0; \theta) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t\cos\theta, 0 + t\sin\theta) - f(0, 0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta)}{t}$

$\theta = 0$ のとき、

$g_1(0, 0; 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t, 0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{0}{t^2} + 0}{t} = 0$

(2) $g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x, y; \theta)$ を求める。

まず、$g_1(x,y;\theta)$ を計算する。$(x,y) \neq (0,0)$に対して、

$g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin\theta$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(6x^2y - 3y^3 + y^3(x^2+y^2) + 2xy^3)(x^2+y^2) - (2x^3y - 3xy^3 + xy^3)(2x)}{(x^2+y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(6x^2y-3y^3+xy^5+y^5+2xy^3)(x^2+y^2) - (4x^4y - 6x^2y^3 + 2x^2y^3)}{(x^2+y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(2x^3 - 9xy^2 + 3xy^2(x^2+y^2) + x^3y)(x^2+y^2) - (2x^3y - 3xy^3 + xy^3)(2y)}{(x^2+y^2)^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(2x^3 - 9xy^2 + 3x^3y^2+3xy^4 + x^3y)(x^2+y^2) - (4x^3y^2 - 6xy^4 + 2xy^4)}{(x^2+y^2)^2}$

$(x,y) = (0,0)$ に対して、

$g_1(0,0;\theta) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{2t^4\cos^3\theta\sin\theta - 3t^4\cos\theta\sin^3\theta}{t^2} + t^4\cos\theta\sin^3\theta}{t}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{2t^2\cos^3\theta\sin\theta - 3t^2\cos\theta\sin^3\theta + t^4\cos\theta\sin^3\theta}{t} = 0$

$g_1(0,0;\theta) = 0$

したがって、$g_2(0,0;\theta,\phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(0,0;\theta) = 0$

$g_2(0, 0; 0, \pi/2) = 0$

$g_1(0, 0; \pi/2, 0) = 0$

(3) 同様に、$g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = 0$

## 最終的な答え

(1) $g_1(0, 0; 0) = 0$

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2) = 0$, $g_1(0, 0; \pi/2, 0) = 0$

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = 0$