関数 $y = \sin^2 \theta + \cos \theta + 1$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、また、それらをとるときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2 \theta + \cos \theta + 1$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の最大値と最小値を求め、また、それらをとるときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \theta$ を $\cos \theta$ で表すために、三角関数の恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。これから、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ となる。

$y = 1 - \cos^2 \theta + \cos \theta + 1$

$y = -\cos^2 \theta + \cos \theta + 2$

ここで、$t = \cos \theta$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ である。

$y = -t^2 + t + 2$

この2次関数を平方完成する。

$y = -(t^2 - t) + 2$

$y = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 2$

$y = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$

この2次関数のグラフは、上に凸であり、頂点は $\left(\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$ である。定義域は $-1 \le t \le 1$ なので、この範囲で最大値と最小値を考える。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{9}{4}$ をとる。このとき、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ であり、$0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ となる。

$t = -1$ のとき、$y$ は最小値をとる。

$y = -(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$

このとき、$\cos \theta = -1$ であり、$0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\theta = \pi$ となる。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{9}{4}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値：$0$ ($\theta = \pi$ のとき)