問題は、以下の式が成り立つことを示すことです。 $ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} $ $ \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $

1. 問題の内容

問題は、以下の式が成り立つことを示すことです。

$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

2. 解き方の手順

上記２つの式は、オイラーの公式から導かれます。オイラーの公式は、$e^{ix} = \cos x + i \sin x$です。これと$x$を$-x$に置き換えた式 $e^{-ix} = \cos(-x) + i \sin(-x) = \cos x - i \sin x$を用いて、$\sin x$と$\cos x$を表します。

まず、$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ と $e^{-ix} = \cos x - i \sin x$ を足し合わせます。

$e^{ix} + e^{-ix} = (\cos x + i \sin x) + (\cos x - i \sin x) = 2 \cos x$

よって、$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ が得られます。

次に、$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ から $e^{-ix} = \cos x - i \sin x$ を引きます。

$e^{ix} - e^{-ix} = (\cos x + i \sin x) - (\cos x - i \sin x) = 2i \sin x$

よって、$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$