与えられた2つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{(x-1)^2}{x} dx$ (2) $\int \frac{\sqrt{x+2}}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{(x-1)^2}{x} dx$

(2) $\int \frac{\sqrt{x+2}}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

被積分関数を展開して整理します。

$\frac{(x-1)^2}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = x - 2 + \frac{1}{x}$

各項を積分します。

$\int (x - 2 + \frac{1}{x}) dx = \int x dx - \int 2 dx + \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \ln|x| + C$

(2)

$t = \sqrt{x+2}$ と置換します。すると $t^2 = x+2$ より $x = t^2 - 2$ となります。

また、$dx = 2t dt$ となります。

これらを積分に代入します。

$\int \frac{\sqrt{x+2}}{x} dx = \int \frac{t}{t^2-2} 2t dt = 2\int \frac{t^2}{t^2-2} dt$

被積分関数を整理します。

$\frac{t^2}{t^2-2} = \frac{t^2-2+2}{t^2-2} = 1 + \frac{2}{t^2-2} = 1 + \frac{2}{(t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})}$

さらに部分分数分解します。

$\frac{2}{(t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})} = \frac{A}{t-\sqrt{2}} + \frac{B}{t+\sqrt{2}}$

$2 = A(t+\sqrt{2}) + B(t-\sqrt{2})$

$t = \sqrt{2}$ のとき $2 = 2\sqrt{2}A$ より $A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t = -\sqrt{2}$ のとき $2 = -2\sqrt{2}B$ より $B = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

よって

$\frac{t^2}{t^2-2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{t-\sqrt{2}} - \frac{1}{t+\sqrt{2}})$

積分します。

$2\int (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{t-\sqrt{2}} - \frac{1}{t+\sqrt{2}})) dt = 2t + \sqrt{2} (\ln|t-\sqrt{2}| - \ln|t+\sqrt{2}|) + C = 2t + \sqrt{2} \ln|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}| + C$

$t = \sqrt{x+2}$ を代入します。

$2\sqrt{x+2} + \sqrt{2} \ln|\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}x^2 - 2x + \ln|x| + C$

(2) $2\sqrt{x+2} + \sqrt{2} \ln|\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}| + C$