点$(x, y)$を通り方向ベクトル$\vec{l_\theta} = (\cos\theta, \sin\theta)$、$\vec{l_\phi} = (\cos\phi, \sin\phi)$をもつ直線をそれぞれ$l_\theta, l_\phi$とする ($0 \le \theta < 2\pi$, $0 \le \phi < 2\pi$)。 このとき、関数 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ が与えられています。

1. 問題の内容

点$(x, y)$を通り方向ベクトル$\vec{l_\theta} = (\cos\theta, \sin\theta)$、$\vec{l_\phi} = (\cos\phi, \sin\phi)$をもつ直線をそれぞれ$l_\theta, l_\phi$とする ($0 \le \theta < 2\pi$, $0 \le \phi < 2\pi$)。 このとき、関数

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy & (x, y) \ne (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

が与えられています。

2. 解き方の手順

問題文が途中で切れているため、具体的な解き方を示すことができません。一般的に、多変数関数の連続性や微分可能性を調べる問題では、以下の手順を踏むことがあります。

(1) 原点以外での連続性： $x^2 + y^2 \ne 0$のとき、関数は多項式と分数の組み合わせなので連続です。

(2) 原点での連続性：原点$(0, 0)$における連続性を調べるために、極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。

$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{2(r\cos\theta)^3(r\sin\theta) - 3(r\cos\theta)(r\sin\theta)^3}{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2} + (r\cos\theta)(r\sin\theta)$

$= \frac{2r^4\cos^3\theta\sin\theta - 3r^4\cos\theta\sin^3\theta}{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} + r^2\cos\theta\sin\theta$

$= \frac{r^4(2\cos^3\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^3\theta)}{r^2} + r^2\cos\theta\sin\theta$

$= r^2(2\cos^3\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^3\theta) + r^2\cos\theta\sin\theta$

$= r^2(2\cos^3\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^3\theta + \cos\theta\sin\theta)$

$r \to 0$のとき、$f(r\cos\theta, r\sin\theta) \to 0 = f(0, 0)$となるので、原点でも連続であることがわかります。

(3) 偏微分の計算：

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{0}{h^2} + 0}{h} = 0$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{0}{k^2} + 0}{k} = 0$

(4) 全微分可能性の確認：

$f(x, y)$が全微分可能であるためには、

$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(x + h, y + k) - f(x, y) - f_x(x, y)h - f_y(x, y)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0$

が成り立つ必要があります。

今回の問題では、問題文が途中で途切れているため、これ以上の解析はできません。問題の続きがあれば、より詳細な解答を提供できます。

3. 最終的な答え

問題文が途中で切れているため、最終的な答えを出すことはできません。