与えられた2次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ の、定義域 $\frac{1}{2} \le x \le 4$ における最大値と最小値を求める。

## 問題の解き方

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ の、定義域 $\frac{1}{2} \le x \le 4$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + 3$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3$

$y = (x - 2)^2 - 1$

平方完成された式から、頂点の座標は $(2, -1)$ であることがわかる。

また、定義域は $\frac{1}{2} \le x \le 4$ である。

軸 $x=2$ は定義域に含まれる。

次に、定義域の両端の点での $y$ の値を計算する。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、

$y = (\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{5}{4}$

$x = 4$ のとき、

$y = (4)^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

頂点の $y$ 座標は -1 であり、これは定義域内で最小値となる。

定義域の端点における $y$ の値を比較すると、$x=4$ のとき $y=3$ であり、$x=\frac{1}{2}$ のとき $y=\frac{5}{4}$ であるから、$x=4$ で最大値 $3$ を取る。

3. 最終的な答え

最大値: 3 ($x = 4$ のとき)

最小値: -1 ($x = 2$ のとき)