与えられた式 $x^2 - 3y^2 + 2xy + 7x + 13y + 10$ を因数分解します。

代数学因数分解二次式多項式
2025/6/22

1. 問題の内容

与えられた式 x23y2+2xy+7x+13y+10x^2 - 3y^2 + 2xy + 7x + 13y + 10 を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、xx について整理します。
x2+(2y+7)x3y2+13y+10x^2 + (2y+7)x - 3y^2 + 13y + 10
次に、定数項 3y2+13y+10-3y^2 + 13y + 10 を因数分解します。
3y2+13y+10=(3y213y10)=(3y+2)(y5)-3y^2 + 13y + 10 = -(3y^2 - 13y - 10) = -(3y + 2)(y - 5)
与式は、
x2+(2y+7)x(3y+2)(y5)x^2 + (2y+7)x - (3y+2)(y-5) となります。
これを xx についての二次式とみて、因数分解することを考えます。
(x+A)(x+B)=x2+(A+B)x+AB(x + A)(x + B) = x^2 + (A+B)x + AB
となる A,BA, B を探します。
A+B=2y+7A+B = 2y+7
AB=(3y+2)(y5)AB = -(3y+2)(y-5)
A=(3y+2)A = -(3y+2) とすると、
B=2y+7A=2y+7+3y+2=5y+9B = 2y + 7 - A = 2y + 7 + 3y + 2 = 5y + 9
AB=(3y+2)(5y+9)AB = -(3y+2)(5y+9)
これは条件を満たしません。
A=(y5)A = (y-5) とすると、
B=2y+7A=2y+7(y5)=y+12B = 2y + 7 - A = 2y + 7 - (y - 5) = y + 12
AB=(y5)(y+12)AB = (y-5)(y+12)
これも条件を満たしません。
A=(3y+2)A = (3y+2) とすると、
B=2y+7(3y+2)=y+5B = 2y+7-(3y+2) = -y + 5
AB=(3y+2)(y+5)=(3y+2)(y5)AB = (3y+2)(-y+5) = -(3y+2)(y-5)
したがって、A=3y+2,B=y+5A = 3y+2, B = -y+5とすると、
x2+(2y+7)x(3y+2)(y5)=(x+3y+2)(xy+5)x^2 + (2y+7)x - (3y+2)(y-5) = (x + 3y + 2)(x - y + 5)
となります。

3. 最終的な答え

(x+3y+2)(xy+5)(x+3y+2)(x-y+5)

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