与えられた式 $x^2 - 3y^2 + 2xy + 7x + 13y + 10$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 3y^2 + 2xy + 7x + 13y + 10$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (2y+7)x - 3y^2 + 13y + 10$

次に、定数項 $-3y^2 + 13y + 10$ を因数分解します。

$-3y^2 + 13y + 10 = -(3y^2 - 13y - 10) = -(3y + 2)(y - 5)$

与式は、

$x^2 + (2y+7)x - (3y+2)(y-5)$ となります。

これを $x$ についての二次式とみて、因数分解することを考えます。

$(x + A)(x + B) = x^2 + (A+B)x + AB$

となる $A, B$ を探します。

$A+B = 2y+7$

$AB = -(3y+2)(y-5)$

$A = -(3y+2)$ とすると、

$B = 2y + 7 - A = 2y + 7 + 3y + 2 = 5y + 9$

$AB = -(3y+2)(5y+9)$

これは条件を満たしません。

$A = (y-5)$ とすると、

$B = 2y + 7 - A = 2y + 7 - (y - 5) = y + 12$

$AB = (y-5)(y+12)$

これも条件を満たしません。

$A = (3y+2)$ とすると、

$B = 2y+7-(3y+2) = -y + 5$

$AB = (3y+2)(-y+5) = -(3y+2)(y-5)$

したがって、$A = 3y+2, B = -y+5$とすると、

$x^2 + (2y+7)x - (3y+2)(y-5) = (x + 3y + 2)(x - y + 5)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x+3y+2)(x-y+5)$