実数 $x, y$ に対して、命題「$x+y > 0 \Rightarrow (x > 0) \lor (y > 0)$」を証明する。代数学命題論理対偶不等式2025/6/221. 問題の内容実数 x,yx, yx,y に対して、命題「x+y>0⇒(x>0)∨(y>0)x+y > 0 \Rightarrow (x > 0) \lor (y > 0)x+y>0⇒(x>0)∨(y>0)」を証明する。2. 解き方の手順この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。元の命題の対偶は「¬((x>0)∨(y>0))⇒¬(x+y>0)\neg((x > 0) \lor (y > 0)) \Rightarrow \neg(x+y > 0)¬((x>0)∨(y>0))⇒¬(x+y>0)」である。これは、「(x≤0)∧(y≤0)⇒x+y≤0(x \le 0) \land (y \le 0) \Rightarrow x+y \le 0(x≤0)∧(y≤0)⇒x+y≤0」と同値である。仮定として、x≤0x \le 0x≤0 かつ y≤0y \le 0y≤0 であるとする。このとき、x+y≤0+0x + y \le 0 + 0x+y≤0+0 が成り立つ。したがって、x+y≤0x + y \le 0x+y≤0 となる。以上より、対偶である「(x≤0)∧(y≤0)⇒x+y≤0(x \le 0) \land (y \le 0) \Rightarrow x+y \le 0(x≤0)∧(y≤0)⇒x+y≤0」が真であることが示された。対偶が真であることから、元の命題「x+y>0⇒(x>0)∨(y>0)x+y > 0 \Rightarrow (x > 0) \lor (y > 0)x+y>0⇒(x>0)∨(y>0)」も真である。3. 最終的な答え証明完了。