実数 $x, y$ に対して、命題「$x+y > 0 \Rightarrow (x > 0) \lor (y > 0)$」を証明する。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して、命題「$x+y > 0 \Rightarrow (x > 0) \lor (y > 0)$」を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。

元の命題の対偶は「$\neg((x > 0) \lor (y > 0)) \Rightarrow \neg(x+y > 0)$」である。

これは、「$(x \le 0) \land (y \le 0) \Rightarrow x+y \le 0$」と同値である。

仮定として、$x \le 0$ かつ $y \le 0$ であるとする。

このとき、$x + y \le 0 + 0$ が成り立つ。

したがって、$x + y \le 0$ となる。

以上より、対偶である「$(x \le 0) \land (y \le 0) \Rightarrow x+y \le 0$」が真であることが示された。

対偶が真であることから、元の命題「$x+y > 0 \Rightarrow (x > 0) \lor (y > 0)$」も真である。

3. 最終的な答え

証明完了。