実数 $x, y$ に対して、命題「$x+y > 0 \Rightarrow (x > 0) \lor (y > 0)$」を証明する。

代数学命題論理対偶不等式
2025/6/22

1. 問題の内容

実数 x,yx, y に対して、命題「x+y>0(x>0)(y>0)x+y > 0 \Rightarrow (x > 0) \lor (y > 0)」を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。
元の命題の対偶は「¬((x>0)(y>0))¬(x+y>0)\neg((x > 0) \lor (y > 0)) \Rightarrow \neg(x+y > 0)」である。
これは、「(x0)(y0)x+y0(x \le 0) \land (y \le 0) \Rightarrow x+y \le 0」と同値である。
仮定として、x0x \le 0 かつ y0y \le 0 であるとする。
このとき、x+y0+0x + y \le 0 + 0 が成り立つ。
したがって、x+y0x + y \le 0 となる。
以上より、対偶である「(x0)(y0)x+y0(x \le 0) \land (y \le 0) \Rightarrow x+y \le 0」が真であることが示された。
対偶が真であることから、元の命題「x+y>0(x>0)(y>0)x+y > 0 \Rightarrow (x > 0) \lor (y > 0)」も真である。

3. 最終的な答え

証明完了。

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