与えられた4つの2次不等式を解く問題です。 (1) $x^2 - 12x + 36 > 0$ (2) $x^2 + 14x + 49 < 0$ (3) $-9x^2 + 6x - 1 \geq 0$ (4) $x^2 + 5 \geq -2\sqrt{5}x$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次不等式を解く問題です。

(1) $x^2 - 12x + 36 > 0$

(2) $x^2 + 14x + 49 < 0$

(3) $-9x^2 + 6x - 1 \geq 0$

(4) $x^2 + 5 \geq -2\sqrt{5}x$

2. 解き方の手順

(1)

左辺を因数分解すると、

$(x-6)^2 > 0$

$(x-6)^2$ は常に0以上なので、$x = 6$のとき0となり、$x=6$以外のすべての実数で正となります。したがって、$x \neq 6$ が解となります。

(2)

左辺を因数分解すると、

$(x+7)^2 < 0$

実数の2乗は常に0以上なので、$(x+7)^2 < 0$を満たす実数$x$は存在しません。したがって、解なしとなります。

(3)

両辺に-1をかけると、

$9x^2 - 6x + 1 \leq 0$

左辺を因数分解すると、

$(3x-1)^2 \leq 0$

実数の2乗は常に0以上なので、$(3x-1)^2$は0以上。不等式を満たすのは$(3x-1)^2 = 0$のときのみ。

$3x-1 = 0$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

(4)

右辺を左辺に移項すると、

$x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 \geq 0$

左辺を因数分解すると、

$(x + \sqrt{5})^2 \geq 0$

実数の2乗は常に0以上なので、すべての実数$x$に対して不等式は成り立ちます。したがって、解はすべての実数となります。

3. 最終的な答え

(1) $x \neq 6$

(2) 解なし

(3) $x = \frac{1}{3}$

(4) すべての実数