与えられた連立方程式 $xy = 128$ と $\log_a x \cdot \log_a y = \frac{28}{45}$ を満たす実数 $x, y$ について、いくつかの空欄を埋め、最終的に $x$ と $y$ の値を求める問題です。ただし、$x \le y$ とし、$a > 0$, $a \ne 1$, $x \ne a$ です。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式 $xy = 128$ と $\log_a x \cdot \log_a y = \frac{28}{45}$ を満たす実数 $x, y$ について、いくつかの空欄を埋め、最終的に $x$ と $y$ の値を求める問題です。ただし、$x \le y$ とし、$a > 0$, $a \ne 1$, $x \ne a$ です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$xy=128$ から $x,y$ の範囲を絞ります。

$xy = 128$ と $x \le y$ より、$x^2 \le xy = 128$ なので $x \le \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$。また、$x>0$ です。$x \neq a$ より、$x$ は $a$ と異なる正の数です。

(2) 次に、$X = \log_a x$, $Y = \log_a y$ とおくと、$\log_a x \cdot \log_a y = \frac{28}{45}$ は $XY = \frac{28}{45}$ となります。$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y = X+Y$ ですから、$\log_a(128) = \log_a(2^7) = 7\log_a 2$ なので、$X+Y = 7\log_a 2$ となります。

(3) $X+Y = 7\log_a 2$ なので、ウ は $7\log_a 2$ です。

$XY = \frac{28}{45}$ なので、カ は $\frac{28}{45}$ です。

(4) $X, Y$ を解にもつ2次方程式は、 $t^2 - (X+Y)t + XY = 0$ なので、$t^2 - 7(\log_a 2) t + \frac{28}{45} = 0$ となります。よって、キ は $t^2 - 7(\log_a 2) t + \frac{28}{45} = 0$ です。

$t = \frac{7\log_a 2 \pm \sqrt{(7\log_a 2)^2 - 4(28/45)}}{2}$

$X = \log_a x, Y = \log_a y$ となっているので、

$\log_a x = \frac{7\log_a 2 - \sqrt{(7\log_a 2)^2 - 112/45}}{2}$

$\log_a y = \frac{7\log_a 2 + \sqrt{(7\log_a 2)^2 - 112/45}}{2}$

この連立方程式を解くことは難しいです。

しかし、問題文から、まずア～コを埋める部分があります。

$xy = 128$より、 $x=\frac{128}{y}$。logの条件から、$0<x<1$または$1<x$です。同様に$0<y<1$または$1<y$です。

3. 最終的な答え

ウ: $7\log_a 2$

カ: $\frac{28}{45}$