不等式 $2(\log_2 x)^2 + \log_2 x^3 \leq 2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2(\log_2 x)^2 + \log_2 x^3 \leq 2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、真数条件から、$x^2 > 0$ かつ $x^3 > 0$ である必要があります。これは、$x \neq 0$ かつ $x>0$ を意味するので、$x > 0$ が真数条件となります。

次に、不等式を変形します。対数の性質より、$\log_2 x^3 = 3 \log_2 x$ なので、不等式は次のようになります。

$2(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x \leq 2$

$2(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x - 2 \leq 0$

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、不等式は

$2t^2 + 3t - 2 \leq 0$

となります。

この2次不等式を解きます。

$2t^2 + 3t - 2 = (2t-1)(t+2) \leq 0$

したがって、$-2 \leq t \leq \frac{1}{2}$

$t = \log_2 x$ なので、

$-2 \leq \log_2 x \leq \frac{1}{2}$

各辺を2を底とする指数関数に適用すると、

$2^{-2} \leq x \leq 2^{\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{4} \leq x \leq \sqrt{2}$

真数条件 $x>0$ と上記の解を組み合わせると、$\frac{1}{4} \leq x \leq \sqrt{2}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} \leq x \leq \sqrt{2}$