与えられたベクトル空間 $W$ の次元と基を求める問題です。$W$ は $\mathbb{R}^5$ の部分空間であり、与えられた行列 $A$ に対し、$Ax = 0$ を満たす $x$ の集合として定義されます。ここでは (1) のみを解きます。

1. 問題の内容

与えられたベクトル空間 $W$ の次元と基を求める問題です。$W$ は $\mathbb{R}^5$ の部分空間であり、与えられた行列 $A$ に対し、$Ax = 0$ を満たす $x$ の集合として定義されます。ここでは (1) のみを解きます。

2. 解き方の手順

(1) の問題を解きます。

$W = \{ x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0 \}$ 、ここで

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

です。

まず、行列 $A$ を簡約化します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

2行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

2行目を $-1/2$ 倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

3行目に2行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & -5/2 & 5/2 \end{bmatrix}$

3行目を $-2/5$ 倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1/2 & 3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

1行目から3行目の1/2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

2行目から3行目の1/2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

$x_1 + x_3 + 2x_5 = 0$

$x_2 = 0$

$x_4 - x_5 = 0$

したがって、$x_1 = -x_3 - 2x_5$ 、 $x_2 = 0$ 、 $x_4 = x_5$ となります。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x_3 - 2x_5 \\ 0 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、基は $\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}$ です。$x_3, x_5$ は任意なので、$x_3, x_5$ 以外にも $x$ に含まれる数は任意の値を取ることができます。

自由変数の数は2つなので、次元は2です。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

次元は、自由変数の数である $x_3$ と $x_5$ の数に等しく、これは2です。

3. 最終的な答え

次元: 2

基: $\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}$