与えられた問題は以下の通りです。 * 問題8：次の2次方程式を解け。(1)から(6)まで6問あります。 * 問題9：$x$ の2次方程式 $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a + 5 = 0$ が実数解を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。 * 問題10：次の2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点を求めよ。(1)と(2)の2問あります。 * 問題11：$a$ は定数とする。放物線 $y = 2x^2 + 3x - a + 1$ と $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

* 問題8：次の2次方程式を解け。(1)から(6)まで6問あります。

* 問題9：$x$ の2次方程式 $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a + 5 = 0$ が実数解を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

* 問題10：次の2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点を求めよ。(1)と(2)の2問あります。

* 問題11：$a$ は定数とする。放物線 $y = 2x^2 + 3x - a + 1$ と $x$ 軸の共有点の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

* **問題8：2次方程式を解く**

* (1) $x^2 - 3x + 2 = 0$

因数分解すると、$(x-1)(x-2) = 0$。したがって、$x = 1, 2$。

* (2) $2x^2 - 3x - 35 = 0$

因数分解すると、$(2x + 7)(x - 5) = 0$。したがって、$x = -\frac{7}{2}, 5$。

* (3) $2x^2 + 3x - 7 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 56}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{4}$。

* (4) $3x^2 - 12x + 10 = 0$

解の公式より、$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(10)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$。

* (5) $\sqrt{2}x^2 - 4x + 2\sqrt{2} = 0$

$\sqrt{2}$ で割ると、$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$。

$(x - \sqrt{2})^2 = 0$。したがって、$x = \sqrt{2}$。

* (6) $8(x-1)^2 + 2(x-1) - 15 = 0$

$y = x-1$ とおくと、$8y^2 + 2y - 15 = 0$。

因数分解すると、$(4y - 5)(2y + 3) = 0$。

したがって、$y = \frac{5}{4}, -\frac{3}{2}$。

$x-1 = \frac{5}{4}$ より、$x = \frac{9}{4}$。

$x-1 = -\frac{3}{2}$ より、$x = -\frac{1}{2}$。

* **問題9：2次方程式が実数解を持つ条件**

与えられた2次方程式は $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a + 5 = 0$ です。

これが実数解を持つためには、まず $a-3 \neq 0$ である必要があります。つまり、$a \neq 3$。

判別式 $D \geq 0$ である必要があります。

$D = [2(a+3)]^2 - 4(a-3)(a+5) = 4(a^2 + 6a + 9) - 4(a^2 + 2a - 15) = 4(4a + 24) = 16(a+6)$。

$D \geq 0$ より、$16(a+6) \geq 0$。したがって、$a \geq -6$。

$a \geq -6$ かつ $a \neq 3$ が答えとなります。

* **問題10：2次関数のグラフとx軸の共有点**

$x$ 軸との共有点は、$y=0$ となる $x$ の値を求めることで見つかります。

* (1) $y = 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 = 0$。したがって、$x = \frac{1}{3}$。共有点は $(\frac{1}{3}, 0)$。

* (2) $y = 3x^2 - 8x - 1 = 0$。

解の公式より、$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 12}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{19}}{3}$。共有点は $(\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 0), (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}, 0)$。

* **問題11：放物線とx軸の共有点の個数**

$y = 2x^2 + 3x - a + 1$ と $x$ 軸の共有点の個数を求めます。

判別式 $D = 3^2 - 4(2)(-a + 1) = 9 + 8a - 8 = 8a + 1$。

$D > 0$ ならば共有点は2個、$D = 0$ ならば共有点は1個、$D < 0$ ならば共有点は0個。

* $8a + 1 > 0 \Leftrightarrow a > -\frac{1}{8}$ のとき、共有点は2個。

* $8a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{1}{8}$ のとき、共有点は1個。

* $8a + 1 < 0 \Leftrightarrow a < -\frac{1}{8}$ のとき、共有点は0個。

3. 最終的な答え

* 問題8

* (1) $x = 1, 2$

* (2) $x = -\frac{7}{2}, 5$

* (3) $x = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{4}$

* (4) $x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

* (5) $x = \sqrt{2}$

* (6) $x = \frac{9}{4}, -\frac{1}{2}$

* 問題9

$a \geq -6$ かつ $a \neq 3$

* 問題10

* (1) $(\frac{1}{3}, 0)$

* (2) $(\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 0), (\frac{4 - \sqrt{19}}{3}, 0)$

* 問題11

* $a > -\frac{1}{8}$ のとき、2個

* $a = -\frac{1}{8}$ のとき、1個

* $a < -\frac{1}{8}$ のとき、0個