2つの多項式 $P(x) = x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q$ と $Q(x) = x^2 - 2px + p + 6$ が与えられている。ただし、$p, q$ は実数。 (1) $P(1)$ を $p, q$ を用いて表す。 (2) $P(x)$ を $Q(x)$ で割った商を求める。また、$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるとき、$q$ を $p$ で表す。 (3) $P(x)$ は $Q(x)$ で割り切れるとする。$P(x) - Q(x)$ を因数分解する。さらに、方程式 $P(x) - Q(x) = 0$ のすべての解が実数であるとし、この解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ のとり得る値の範囲の最小値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2つの多項式 $P(x) = x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q$ と $Q(x) = x^2 - 2px + p + 6$ が与えられている。ただし、$p, q$ は実数。

(1) $P(1)$ を $p, q$ を用いて表す。

(2) $P(x)$ を $Q(x)$ で割った商を求める。また、$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れるとき、$q$ を $p$ で表す。

(3) $P(x)$ は $Q(x)$ で割り切れるとする。$P(x) - Q(x)$ を因数分解する。さらに、方程式 $P(x) - Q(x) = 0$ のすべての解が実数であるとし、この解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ のとり得る値の範囲の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(1)$ を計算する。

$P(1) = 1^3 - (2p+1)(1)^2 + 3(p+2)(1) + q = 1 - 2p - 1 + 3p + 6 + q = p + q + 6$

(2) $P(x)$ を $Q(x)$ で割った商を求める。

$P(x) = x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q$

$Q(x) = x^2 - 2px + p + 6$

筆算で割ると、商は $x+ (2p-1)$ となる。

$P(x) = (x + 2p - 1)Q(x) + 余り$

余りを計算すると、

$P(x) - (x + 2p - 1)Q(x) = P(x) - (x + 2p - 1)(x^2 - 2px + p + 6)$

$= x^3 - (2p+1)x^2 + 3(p+2)x + q - (x^3 - 2px^2 + (p+6)x + (2p-1)(-2px + p + 6))$

$= x^3 - (2p+1)x^2 + (3p+6)x + q - (x^3 - 2px^2 + (p+6)x - 4p^2x + (2p^2 + 12p -p -6) )$

$= x^3 - (2p+1)x^2 + (3p+6)x + q - (x^3 - 2px^2 + (p+6)x - 4p^2x + 2p^2 -p + 12p -6)$

$= x^3 - (2p+1)x^2 + (3p+6)x + q - (x^3 - 2px^2 - 4p^2x +( p + 6)x+ 2p^2 +11p -6 )$

$= (4p^2 + 2p+6-p-6)x + q -(2p^2+11p-6+2p-1)$

$= (4p^2 + 2p)x + q -(2p^2+11p-6+2p-1)$

$= (4p^2 + 2p)x + q - 2p^2 - 11p + 6$

$= 4p^2 x -4p^2$

$P(x)$ が $Q(x)$ で割り切れる時、余りは0になるので、

$(4p^2)x + (2p-1)-(p+6) +q=0$.

したがって、$余りは 0$ となるから

$(4p^2 + 2p-p-6) = 0$

従って、$(4p^2+p)x + q - (2p^2 + 11p +6) = 0$.

したがって $4p^2 + 2p-1(p+6) =0$ となるから

$(4p^2 +2p-p-6) = 0$

よって、 $2p + 11p -6)=0$.

P(x)/Q(x) = x-2p+1

剰余 $4p^2 x +q - 2p^2 - 11p -6$.

P(x)はQ(x)で割り切れる時, 余り =0だから,

4p^2 + q - (2p^2 + 11p + 6 =0

q = -4p^2 -2p^2 +11p+6 = -2p^2 -11p -6

$(2p-1-p-6)$.

p(x)is devisable q(x):

4p^2=11p + 6

(2p-1)( p^ 6) =0

$$$$

q = 2p^2 + 11p +

6. $$

(3)

$P(x) - Q(x) = (x + 2p - 1)Q(x) - Q(x)$

= (4p^2 + 2p + 0) x

余り

$(p-5)$.

$\therefore P(x) - Q(x) = (x + 2p - 2)Q(x)$

$P(x)-Q(x) = 0$の全ての解が実数だから、

$x=2$.

3. 最終的な答え

(1) $P(1) = p + q + 6$

(2) 商: $x - p + 2$, $q = 2p^2+2p-11p$.

最終的な答えは

q = 2p + 11p -1(1p 6);