ベクトル空間 $W$ が与えられた連立一次方程式の解空間として定義されている。それぞれの $W$ について、その次元と基を求める。

1. 問題の内容

ベクトル空間 $W$ が与えられた連立一次方程式の解空間として定義されている。それぞれの $W$ について、その次元と基を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた行列を簡約化し、解空間の自由度を求める。自由度が次元に対応する。次に、自由変数に具体的な値を代入することで、解空間の基を構成する。

与えられた行列は

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

第2行から第1行を引く、第3行から第1行の2倍を引くと

$A' = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

第3行から第2行の1/2倍を引くと

$A'' = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5/2 & 5/2 \end{bmatrix}$

よってrank(A)=

3. よって、解空間の次元は5-3=2。

連立一次方程式を解く。

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0$

$-2x_2 - x_4 + x_5 = 0$

$-\frac{5}{2}x_4 + \frac{5}{2}x_5 = 0$

$x_4 = x_5$

$-2x_2 - x_5 + x_5 = 0$ より $x_2 = 0$

$x_1 + x_3 + 2x_5 = 0$ より $x_1 = -x_3 - 2x_5$

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x_3 - 2x_5 \\ 0 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

よって、基は $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) 与えられた行列を簡約化し、解空間の自由度を求める。

$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

第1行を1/2倍すると

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/2 & 3/2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

第2行から第1行を引く、第3行から第1行の3倍を引くと

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/2 & 3/2 & 2 \\ 0 & 2 & 7/2 & -1/2 & -7 \\ 0 & 1 & 11/2 & -25/2 & 4 \end{bmatrix}$

第3行から第2行の1/2倍を引くと

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1/2 & 3/2 & 2 \\ 0 & 2 & 7/2 & -1/2 & -7 \\ 0 & 0 & 15/4 & -49/4 & 17/2 \end{bmatrix}$

よってrank(B)=

3. よって、解空間の次元は5-3=2。

連立一次方程式を解く。

$x_1 - \frac{1}{2}x_3 + \frac{3}{2}x_4 + 2x_5 = 0$

$2x_2 + \frac{7}{2}x_3 - \frac{1}{2}x_4 - 7x_5 = 0$

$\frac{15}{4}x_3 - \frac{49}{4}x_4 + \frac{17}{2}x_5 = 0$

$15x_3 - 49x_4 + 34x_5 = 0$ より $x_3 = \frac{49}{15}x_4 - \frac{34}{15}x_5$

$2x_2 + \frac{7}{2}(\frac{49}{15}x_4 - \frac{34}{15}x_5) - \frac{1}{2}x_4 - 7x_5 = 0$

$2x_2 + (\frac{343}{30} - \frac{1}{2})x_4 + (-\frac{238}{30} - 7)x_5 = 0$

$2x_2 + \frac{328}{30}x_4 - \frac{448}{30}x_5 = 0$

$x_2 = -\frac{164}{30}x_4 + \frac{224}{30}x_5 = -\frac{82}{15}x_4 + \frac{112}{15}x_5$

$x_1 - \frac{1}{2}(\frac{49}{15}x_4 - \frac{34}{15}x_5) + \frac{3}{2}x_4 + 2x_5 = 0$

$x_1 - (\frac{49}{30} - \frac{45}{30})x_4 + (\frac{34}{30} + \frac{60}{30})x_5 = 0$

$x_1 = \frac{23}{15}x_4 - \frac{47}{15}x_5$

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{23}{15}x_4 - \frac{47}{15}x_5 \\ -\frac{82}{15}x_4 + \frac{112}{15}x_5 \\ \frac{49}{15}x_4 - \frac{34}{15}x_5 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4\begin{bmatrix} 23/15 \\ -82/15 \\ 49/15 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5\begin{bmatrix} -47/15 \\ 112/15 \\ -34/15 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

よって、基は $\begin{bmatrix} 23/15 \\ -82/15 \\ 49/15 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -47/15 \\ 112/15 \\ -34/15 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。もしくは、15倍して$\begin{bmatrix} 23 \\ -82 \\ 49 \\ 15 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -47 \\ 112 \\ -34 \\ 0 \\ 15 \end{bmatrix}$。

3. 最終的な答え

(1) 次元: 2, 基: $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) 次元: 2, 基: $\begin{bmatrix} 23 \\ -82 \\ 49 \\ 15 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -47 \\ 112 \\ -34 \\ 0 \\ 15 \end{bmatrix}$