ベクトル $\vec{a} = (4, 2)$、$\vec{b} = (3, -1)$、$\vec{x} = (p, q)$ が与えられています。$\vec{x}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行で、$\vec{x} - \vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直であるとき、$p$ と $q$ の値を求めます。

## 問題42

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (4, 2)$、$\vec{b} = (3, -1)$、$\vec{x} = (p, q)$ が与えられています。$\vec{x}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行で、$\vec{x} - \vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直であるとき、$p$ と $q$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{b} - \vec{a}$ を計算します。

$\vec{b} - \vec{a} = (3, -1) - (4, 2) = (-1, -3)$

$\vec{x}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行なので、ある実数 $k$ を用いて、

$\vec{x} = k(\vec{b} - \vec{a})$

$(p, q) = k(-1, -3) = (-k, -3k)$

したがって、$p = -k$、 $q = -3k$ が成り立ちます。

次に、$\vec{x} - \vec{b}$ を計算します。

$\vec{x} - \vec{b} = (p, q) - (3, -1) = (p - 3, q + 1)$

$\vec{x} - \vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直なので、内積は 0 です。

$(\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$(p - 3, q + 1) \cdot (4, 2) = 0$

$4(p - 3) + 2(q + 1) = 0$

$4p - 12 + 2q + 2 = 0$

$4p + 2q - 10 = 0$

$2p + q - 5 = 0$

$p = -k$、 $q = -3k$ を $2p + q - 5 = 0$ に代入します。

$2(-k) + (-3k) - 5 = 0$

$-2k - 3k - 5 = 0$

$-5k = 5$

$k = -1$

$p = -k = -(-1) = 1$

$q = -3k = -3(-1) = 3$

3. 最終的な答え

$p = 1$, $q = 3$