$\frac{2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ の分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

$\frac{2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母の共役な複素数である $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{2\sqrt{5} - 5\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{5} - 5\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}$

分子を展開します。

$(2\sqrt{5} - 5\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{5}\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\sqrt{2} - 5\sqrt{2}\sqrt{5} - 5\sqrt{2}\sqrt{2}$

$= 2(5) + 2\sqrt{10} - 5\sqrt{10} - 5(2)$

$= 10 + 2\sqrt{10} - 5\sqrt{10} - 10$

$= -3\sqrt{10}$

分母を展開します。

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2$

$= 5 - 2$

$= 3$

したがって、

$\frac{(2\sqrt{5} - 5\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{-3\sqrt{10}}{3}$

$= -\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{10}$