(1) 2次方程式 $x^2 + (a+1)x + 3(a+1) = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。 (2) 2次方程式 $(k+8)x^2 - 6x + k = 0$ が異なる2つの実数解をもつような最小の整数 $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + (a+1)x + 3(a+1) = 0$ が実数解をもたないとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

(2) 2次方程式 $(k+8)x^2 - 6x + k = 0$ が異なる2つの実数解をもつような最小の整数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式が実数解をもたない条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ であること。

$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3(a+1)$

$D = (a+1)^2 - 12(a+1)$

$D = (a+1)(a+1-12) = (a+1)(a-11)$

$D < 0$ より $(a+1)(a-11) < 0$

$-1 < a < 11$

(2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ であること。

ただし、 $k+8 = 0$ つまり $k=-8$ のときは2次方程式にならないので、その場合を考える必要がある。

$k=-8$ のとき、$-6x-8=0$ となり、$x = -\frac{4}{3}$ という一つの実数解を持つのみなので、$k \neq -8$ である。

$D = (-6)^2 - 4(k+8)k = 36 - 4k^2 - 32k = -4(k^2 + 8k - 9)$

$D = -4(k+9)(k-1)$

$D > 0$ より、$-4(k+9)(k-1) > 0$

$(k+9)(k-1) < 0$

$-9 < k < 1$

$k \neq -8$ より、$k$ は $-9 < k < 1$ の範囲の整数。

すなわち $k = -7, -6, \dots, -1, 0$

最小の整数 $k$ は $-7$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-1 < a < 11$

(2) $k = -7$