(1) 対数方程式 $\log_3 (x+1)^2 = 2$ を解く。 (2) 対数方程式 $\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$ を解く。 (3) 対数不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) > 2$ を解く。 (4) 対数不等式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2$ を解く。

はい、承知いたしました。画像にある4つの問題について、順番に解説します。

1. 問題の内容

(1) 対数方程式 $\log_3 (x+1)^2 = 2$ を解く。

(2) 対数方程式 $\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$ を解く。

(3) 対数不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) > 2$ を解く。

(4) 対数不等式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $\log_3 (x+1)^2 = 2$

まず、真数条件より $(x+1)^2 > 0$。これは $x \neq -1$ を意味する。

次に、$\log_3 (x+1)^2 = 2$ を変形すると、

$(x+1)^2 = 3^2$

$x+1 = \pm 3$

$x = -1 \pm 3$

$x = 2, -4$

$x \neq -1$ なので、 $x=2$ と $x=-4$ はどちらも解の候補となる。

(2) $\log_2 x + \log_2 (x+7) = 3$

真数条件より、$x>0$ かつ $x+7>0$。したがって、$x>0$。

$\log_2 x + \log_2 (x+7) = \log_2 (x(x+7))$

$\log_2 (x(x+7)) = 3$

$x(x+7) = 2^3 = 8$

$x^2 + 7x - 8 = 0$

$(x+8)(x-1) = 0$

$x = -8, 1$

真数条件 $x>0$ より、解は $x=1$。

(3) $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) > 2$

真数条件より、$x-1 > 0$ すなわち $x > 1$。

底が1より小さいので、不等号の向きが変わることに注意する。

$x-1 < (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$x < 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$1 < x < \frac{5}{4}$

(4) $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2$

真数条件より、$x+1>0$ かつ $x-2>0$。したがって、$x>2$。

$\log_2(x+1) + \log_2(x-2) = \log_2((x+1)(x-2)) < 2$

$(x+1)(x-2) < 2^2 = 4$

$x^2 - x - 2 < 4$

$x^2 - x - 6 < 0$

$(x-3)(x+2) < 0$

$-2 < x < 3$

真数条件 $x>2$ より、$2 < x < 3$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -4$

(2) $x = 1$

(3) $1 < x < \frac{5}{4}$

(4) $2 < x < 3$