格子状の道がある町において、以下の3つの条件でのA地点からB地点までの最短経路の数を求める問題です。 (1) AからBまで行く経路の数 (2) AからCを通ってBまで行く経路の数 (3) AからCを通らずにBまで行く経路の数

## 問題1

1. 問題の内容

格子状の道がある町において、以下の3つの条件でのA地点からB地点までの最短経路の数を求める問題です。

(1) AからBまで行く経路の数

(2) AからCを通ってBまで行く経路の数

(3) AからCを通らずにBまで行く経路の数

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く経路の数

AからBまでの最短経路は、右に4回、上に3回移動する必要があります。

したがって、最短経路の総数は、7回の移動のうち右方向への移動4回を選ぶ組み合わせの数で計算できます。

これは二項係数で表され、${7 \choose 4}$となります。

${7 \choose 4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) AからCを通ってBまで行く経路の数

AからCまでの最短経路は、右に2回、上に1回移動する必要があります。

CからBまでの最短経路は、右に2回、上に2回移動する必要があります。

AからCまでの経路数は、3回の移動のうち右方向への移動2回を選ぶ組み合わせの数で計算できます。

これは二項係数で表され、${3 \choose 2}$となります。

${3 \choose 2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$

CからBまでの経路数は、4回の移動のうち右方向への移動2回を選ぶ組み合わせの数で計算できます。

これは二項係数で表され、${4 \choose 2}$となります。

${4 \choose 2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、AからCを通ってBまで行く経路の数は、$3 \times 6 = 18$となります。

(3) AからCを通らずにBまで行く経路の数

AからBまでの経路数から、AからCを通ってBまで行く経路数を引けば、AからCを通らずにBまで行く経路数が求まります。

$35 - 18 = 17$

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く経路の数：35通り

(2) AからCを通ってBまで行く経路の数：18通り

(3) AからCを通らずにBまで行く経路の数：17通り

## 問題2

1. 問題の内容

格子状の道がある町において、以下の3つの条件でのA地点からB地点までの最短経路の数を求める問題です。

(1) AからBまで行く経路の数

(2) AからCD間を通ってBまで行く経路の数

(3) AからCD間を通らずにBまで行く経路の数

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く経路の数

AからBまでの最短経路は、右に4回、上に3回移動する必要があります。

したがって、最短経路の総数は、7回の移動のうち右方向への移動4回を選ぶ組み合わせの数で計算できます。

これは二項係数で表され、${7 \choose 4}$となります。

${7 \choose 4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) AからCD間を通ってBまで行く経路の数

AからCまでの最短経路は、右に1回、上に2回移動する必要があります。

DからBまでの最短経路は、右に3回、上に1回移動する必要があります。

AからCまでの経路数は、3回の移動のうち右方向への移動1回を選ぶ組み合わせの数で計算できます。

これは二項係数で表され、${3 \choose 1}$となります。

${3 \choose 1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$

CからDへは1通り

DからBまでの経路数は、4回の移動のうち右方向への移動3回を選ぶ組み合わせの数で計算できます。

これは二項係数で表され、${4 \choose 3}$となります。

${4 \choose 3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$

したがって、AからCD間を通ってBまで行く経路の数は、$3 \times 1 \times 4 = 12$となります。

(3) AからCD間を通らずにBまで行く経路の数

AからBまでの経路数から、AからCD間を通ってBまで行く経路数を引けば、AからCD間を通らずにBまで行く経路数が求まります。

$35 - 12 = 23$

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く経路の数：35通り

(2) AからCD間を通ってBまで行く経路の数：12通り

(3) AからCD間を通らずにBまで行く経路の数：23通り