$a$ を定数として、2次関数 $y = x^2 - 4x + 2$ の $a \leq x \leq a+2$ における最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を定数として、2次関数 $y = x^2 - 4x + 2$ の $a \leq x \leq a+2$ における最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 2 = (x - 2)^2 - 2$

この関数の軸は $x = 2$ で、下に凸な放物線です。

次に、定義域 $a \leq x \leq a+2$ と軸 $x=2$ の位置関係によって場合分けをします。

(1) $a + 2 < 2$ のとき（つまり $a < 0$ のとき）

定義域は軸よりも左側にあります。したがって、$x = a + 2$ で最小値をとります。

$y = (a + 2)^2 - 4(a + 2) + 2 = a^2 + 4a + 4 - 4a - 8 + 2 = a^2 - 2$

(2) $a \leq 2 \leq a + 2$ のとき（つまり $0 \leq a \leq 2$ のとき）

軸が定義域に含まれています。したがって、$x = 2$ で最小値をとります。

$y = (2 - 2)^2 - 2 = -2$

(3) $a > 2$ のとき

定義域は軸よりも右側にあります。したがって、$x = a$ で最小値をとります。

$y = a^2 - 4a + 2$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $a^2 - 2$

$0 \leq a \leq 2$ のとき、最小値は $-2$

$a > 2$ のとき、最小値は $a^2 - 4a + 2$