初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。ただし、$r \neq 1$とします。与えられた式 $S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}$ と $rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n$ を用いて、$S_n$ の式を導出します。

1. 問題の内容

初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列の第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。ただし、$r \neq 1$とします。与えられた式 $S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}$ と $rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^n$ を用いて、$S_n$ の式を導出します。

2. 解き方の手順

まず、$S_n$ と $rS_n$ を書き下します。

$S_n = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-2} + ar^{n-1}$

$rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n$

次に、$S_n$ から $rS_n$ を引きます。

$S_n - rS_n = (a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-2} + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n)$

$S_n - rS_n = a - ar^n$

$(1-r)S_n = a - ar^n$

したがって、$(1-r)S_n = a - ar^n$ となります。

ここで、$1-r \neq 0$ であるから、$S_n$ を求めるために両辺を $1-r$ で割ります。

$S_n = \frac{a - ar^n}{1-r}$

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$