数列 $1, 2, 3, \dots, n$ において、次の積の和を求める。 (1) 異なる2つの項の積の和 ($n \geq 2$) (2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和 ($n \geq 3$)

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 3, \dots, n$ において、次の積の和を求める。

(1) 異なる2つの項の積の和 ($n \geq 2$)

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和 ($n \geq 3$)

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの項の積の和

まず、数列の総和 $S_1$ と2乗の和 $S_2$ を求める。

$S_1 = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

異なる2つの項の積の和を $A$ とする。

$A$ は、全体の2乗和から各項の2乗を引いて2で割ったものに等しい。つまり、

$A = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

$S_1^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n^2(n^2 + 2n + 1)}{4} = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4}$

$A = \frac{1}{2} \left( \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4} - \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6} \right)$

$A = \frac{1}{24} \left( 6(n^4 + 2n^3 + n^2) - 4(2n^3 + 3n^2 + n) \right) = \frac{1}{24} \left( 6n^4 + 12n^3 + 6n^2 - 8n^3 - 12n^2 - 4n \right)$

$A = \frac{1}{24} \left( 6n^4 + 4n^3 - 6n^2 - 4n \right) = \frac{n}{24} \left( 6n^3 + 4n^2 - 6n - 4 \right) = \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}$

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和

数列 $1, 2, 3, \dots, n$ から、隣り合わない異なる2つの項を選ぶ。

選んだ2つの項を $i, j$ とする。ただし、$1 \leq i < j \leq n$ かつ $j - i > 1$ である。

この条件を満たす $i, j$ の組み合わせについて、積 $i \times j$ を全て足し合わせたものが求める答えとなる。

この問題を直接計算するのは難しいので、包除原理を用いる。

まず、全ての組み合わせの積の和から、隣り合う項の積の和を引く。

隣り合う項の積の和を $B$ とする。

$B = \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2}$

$B = \frac{(n-1)n(2n-1) + 3(n-1)n}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1+3)}{6} = \frac{(n-1)n(2n+2)}{6} = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$

求める和を $C$ とすると、$C = A - B = \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24} - \frac{n(n-1)(n+1)}{3} = \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2) - 8n(n-1)(n+1)}{24} = \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2-8)}{24} = \frac{n(n-1)(n+1)(3n-6)}{24} = \frac{3n(n-1)(n+1)(n-2)}{24} = \frac{n(n-2)(n-1)(n+1)}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの項の積の和: $\frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}$

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和: $\frac{n(n-2)(n-1)(n+1)}{8}$