$xy$ 平面上に2つの放物線 $C: y = -ax^2 + bx$ と $C_1: y = -x^2 + 2x$ がある。$C_1$ の $1 < x < 2$ の部分を $D_1$ とする。放物線 $C$ は、その頂点 $P$ が $D_1$ 上にあるように変化するものとする。$C$ の頂点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とし、$x$ 軸と放物線 $C$ で囲まれる部分の面積を $S_1$、$x \geq t$ の範囲で、$x$ 軸、放物線 $C$、放物線 $C_1$ で囲まれる部分の面積を $S$ とする。このとき、$a$ と $b$ を $t$ で表す。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に2つの放物線 $C: y = -ax^2 + bx$ と $C_1: y = -x^2 + 2x$ がある。$C_1$ の $1 < x < 2$ の部分を $D_1$ とする。放物線 $C$ は、その頂点 $P$ が $D_1$ 上にあるように変化するものとする。$C$ の頂点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とし、$x$ 軸と放物線 $C$ で囲まれる部分の面積を $S_1$、$x \geq t$ の範囲で、$x$ 軸、放物線 $C$、放物線 $C_1$ で囲まれる部分の面積を $S$ とする。このとき、$a$ と $b$ を $t$ で表す。

2. 解き方の手順

放物線 $C: y = -ax^2 + bx$ の頂点 $P$ の $x$ 座標が $t$ であることから、$y = -a(x - t)^2 + k$ と表せる。展開すると、$y = -ax^2 + 2atx - at^2 + k$ となる。

問題文より、$y = -ax^2 + bx$ であるから、$b = 2at$ が成り立つ。

頂点 $P$ は放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ 上にあるので、頂点 $P$ の $y$ 座標は $y = -t^2 + 2t$ となる。

よって、頂点 $P$ の座標は $(t, -t^2 + 2t)$ である。

$y = -ax^2 + bx = -ax^2 + 2atx$ を平方完成すると、

$y = -a(x^2 - 2tx) = -a((x - t)^2 - t^2) = -a(x - t)^2 + at^2$ となる。

頂点 $P$ の $y$ 座標は $at^2$ であるから、$at^2 = -t^2 + 2t$ が成り立つ。

$t \neq 0$ であるから、$a = -1 + \frac{2}{t}$ が得られる。

$b = 2at$ より、$b = 2(-1 + \frac{2}{t})t = -2t + 4$ が得られる。

3. 最終的な答え

$a = -1 + \frac{2}{t}$

$b = -2t + 4$