与えられた数列の和を求める問題です。数列は $1 + (1+3) + (1+3+3^2) + \dots + (1+3+3^2+\dots+3^{n-1})$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は

$1 + (1+3) + (1+3+3^2) + \dots + (1+3+3^2+\dots+3^{n-1})$

で表されます。

2. 解き方の手順

まず、数列の各項は等比数列の和で表されることに注目します。

第$k$項は $1+3+3^2+\dots+3^{k-1}$ と表すことができます。これは初項1、公比3、項数$k$の等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いると、

$1+3+3^2+\dots+3^{k-1} = \frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k-1}{2}$

となります。

次に、与えられた数列の和を$S$とすると、

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3^k - 1)$

$= \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1)$

$\sum_{k=1}^{n} 3^k$は初項3、公比3、項数$n$の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

また、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$なので、

$S = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{2} - n) = \frac{3(3^n - 1) - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

3. 最終的な答え

与えられた数列の和は

$\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$

です。