(1) 2種類の記号、黒丸（●）と横線（ー）を5個並べてできる信号は何種類あるか。 (2) 0, 1, 2, 3, 4の5種類の数字を使って、3桁の数は何個できるか。

1. 問題の内容

(1) 2種類の記号、黒丸（●）と横線（ー）を5個並べてできる信号は何種類あるか。

(2) 0, 1, 2, 3, 4の5種類の数字を使って、3桁の数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 5個並べる記号は2種類なので、それぞれの場所にどちらかの記号が入る。

全部で何種類の信号があるかを求めるためには、二項定理または組み合わせを用いる。黒丸の個数に着目し、黒丸が0個から5個の場合の数をそれぞれ計算する。

* 黒丸が0個の場合：横線5個、1通り

* 黒丸が1個の場合：5個の中から黒丸の位置を1つ選ぶ、$_5C_1$通り

* 黒丸が2個の場合：5個の中から黒丸の位置を2つ選ぶ、$_5C_2$通り

* 黒丸が3個の場合：5個の中から黒丸の位置を3つ選ぶ、$_5C_3$通り

* 黒丸が4個の場合：5個の中から黒丸の位置を4つ選ぶ、$_5C_4$通り

* 黒丸が5個の場合：黒丸5個、1通り

したがって、

信号の種類数 = $_5C_0 + _5C_1 + _5C_2 + _5C_3 + _5C_4 + _5C_5$

もしくは、各場所で2種類の記号が使えるので、$2^5$を計算する。

(2) 3桁の整数を作る。

百の位は0以外の数字である必要があるため、1, 2, 3, 4 の4通りの選択肢がある。

十の位と一の位は0, 1, 2, 3, 4の5通りの選択肢がある。

したがって、

3桁の数 = 百の位の選び方 × 十の位の選び方 × 一の位の選び方

3. 最終的な答え

(1)

$_5C_0 = 1$

$_5C_1 = 5$

$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$

$_5C_4 = 5$

$_5C_5 = 1$

信号の種類数 = $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$

または、$2^5 = 32$

(1) 32種類

(2)

百の位の選び方 = 4通り

十の位の選び方 = 5通り

一の位の選び方 = 5通り

3桁の数 = $4 \times 5 \times 5 = 100$

(2) 100個