与えられた4次方程式 $x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x - 2 = 0$ を解きます。

## 問題1 (1)

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x - 2 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式が整数解を持つかどうかを調べます。因数定理を用いるために、$x$ に整数値を代入して、方程式が 0 になるものを見つけます。

$x=1$ を代入すると、$1 + 4 + 2 - 5 - 2 = 0$ となり、$x=1$ は解の一つです。

同様に、$x=-2$ を代入すると、$16 - 32 + 8 + 10 - 2 = 0$ となり、$x=-2$ も解の一つです。

したがって、$x-1$ と $x+2$ は方程式の因数です。

$(x-1)(x+2) = x^2 + x - 2$ であり、この因数で元の多項式を割ると、

$x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x - 2 = (x^2 + x - 2)(x^2 + 3x + 1)$

したがって、$x^2 + 3x + 1 = 0$ を解けばよい。

解の公式から、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 1, -2, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$

## 問題2 (2)

1. 問題の内容

与えられた方程式 $(x-1)(x-2)(x-3) = 4 \cdot 3 \cdot 2$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、右辺を計算します。 $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ なので、方程式は $(x-1)(x-2)(x-3) = 24$ となります。

左辺を展開すると、

$(x-1)(x-2)(x-3) = (x^2 - 3x + 2)(x-3) = x^3 - 3x^2 + 2x - 3x^2 + 9x - 6 = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

したがって、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 24$ となり、$x^3 - 6x^2 + 11x - 30 = 0$ を解きます。

因数定理より、整数解を探すと、$x=5$ を代入すると、$125 - 150 + 55 - 30 = 0$ となり、$x=5$ は解の一つです。

したがって、$(x-5)$ は方程式の因数です。

$x^3 - 6x^2 + 11x - 30 = (x-5)(x^2 - x + 6)$

したがって、$x^2 - x + 6 = 0$ を解けばよい。

解の公式から、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{23}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 5, \frac{1 + i\sqrt{23}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{23}}{2}$

## 問題3 (3)

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $2x^3 - 9x^2 + 2 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式が整数解を持つかどうかを調べます。因数定理を用いるために、$x$ に整数値を代入して、方程式が 0 になるものを見つけます。

しかし、簡単な整数値では解が見つかりません。有理数解の候補を調べます。$p/q$ が解であるとき、$p$ は定数項の約数、 $q$ は最高次の係数の約数である必要があります。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

候補は $\pm 1, \pm 2, \pm 1/2$.

$x = 1/2$ を代入すると、$2(1/8) - 9(1/4) + 2 = 1/4 - 9/4 + 8/4 = 0$

したがって、$x=1/2$ は解の一つです。$2x-1$ は因数となります。

$2x^3 - 9x^2 + 2 = (2x-1)(x^2 - 4x -2)$

$x^2 - 4x - 2 = 0$ を解けばよい。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}, 2 + \sqrt{6}, 2 - \sqrt{6}$

## 問題4 (4)

1. 問題の内容

与えられた方程式 $(x^2-4x)^2 - (x^2-4x) - 6 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

$x^2 - 4x = t$ とおくと、$t^2 - t - 6 = 0$

$(t-3)(t+2) = 0$

したがって、$t=3$ または $t=-2$.

$x^2 - 4x = 3$ のとき、$x^2 - 4x - 3 = 0$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

$x^2 - 4x = -2$ のとき、$x^2 - 4x + 2 = 0$.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$x = 2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

## 問題5 (5)

1. 問題の内容

与えられた方程式 $(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x + 4) = 8$ を解きます。

2. 解き方の手順

$x^2 + 2x = t$ とおくと、$(t-3)(t+4) = 8$

$t^2 + t - 12 = 8$

$t^2 + t - 20 = 0$

$(t+5)(t-4) = 0$

したがって、$t = -5$ または $t = 4$.

$x^2 + 2x = -5$ のとき、$x^2 + 2x + 5 = 0$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$

$x^2 + 2x = 4$ のとき、$x^2 + 2x - 4 = 0$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$x = -1 + 2i, -1 - 2i, -1 + \sqrt{5}, -1 - \sqrt{5}$

## 問題6 (6)

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^4 + 4 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

したがって、$(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) = 0$ となり、$x^2 + 2x + 2 = 0$ または $x^2 - 2x + 2 = 0$.

$x^2 + 2x + 2 = 0$ のとき、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$.

$x^2 - 2x + 2 = 0$ のとき、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$.

3. 最終的な答え

$x = 1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i$