全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。 (1) $\overline{B}$ (2) $\overline{A \cap B}$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $A \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cap \overline{B}$ ベン図より、各要素は以下の通りです。 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ $A = \{1, 2, 3\}$ $B = \{3, 6\}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ が与えられたとき、以下の集合を求める問題です。

(1) $\overline{B}$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $A \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $A \cap \overline{B}$

ベン図より、各要素は以下の通りです。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

$A = \{1, 2, 3\}$

$B = \{3, 6\}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、$A \cap B = \{3\}$ 。したがって、$\overline{A \cap B}$ は $A \cap B$ の補集合なので、

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(3) $A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(4) $A \cup \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の和集合なので、$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

(5) $\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$\overline{A} = \{4, 5, 6\}$ 。したがって、$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の共通部分なので、

$\overline{A} \cap B = \{6\}$

(6) $A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$ （(3)と同じ）

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 5, 6\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{1, 2\}$