A, B, C, Dの4人がそれぞれ品物を1つずつ持っていて、くじ引きで分ける。このとき、各人が自分の品物をもらわないような分け方は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

A, B, C, Dの4人がそれぞれ品物を1つずつ持っていて、くじ引きで分ける。このとき、各人が自分の品物をもらわないような分け方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

これは完全順列の問題です。4人の完全順列の数を求めることになります。完全順列の数を表す記号として $!n$ を使うことがあります。今回は $!4$ を求めることになります。

完全順列の数の公式を使うこともできますが、ここでは包除原理を使って解いていきます。

まず、4人の品物の分け方の総数は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

次に、少なくとも1人が自分の品物をもらう場合の数を考えます。

* 1人が自分の品物をもらう場合：${}_4 \mathrm{C}_1 \times 3! = 4 \times 6 = 24$ 通り

* 2人が自分の品物をもらう場合：${}_4 \mathrm{C}_2 \times 2! = 6 \times 2 = 12$ 通り

* 3人が自分の品物をもらう場合：${}_4 \mathrm{C}_3 \times 1! = 4 \times 1 = 4$ 通り

* 4人が自分の品物をもらう場合：${}_4 \mathrm{C}_4 \times 0! = 1 \times 1 = 1$ 通り

包除原理より、少なくとも1人が自分の品物をもらう場合の数は、

$24 - 12 + 4 - 1 = 15$ 通り

したがって、誰も自分の品物をもらわない場合の数は、

$4! - ({}_4 \mathrm{C}_1 \times 3! - {}_4 \mathrm{C}_2 \times 2! + {}_4 \mathrm{C}_3 \times 1! - {}_4 \mathrm{C}_4 \times 0!)$

$= 24 - (24 - 12 + 4 - 1)$

$= 24 - 15 = 9$ 通り

または、完全順列の公式を用いると、

$!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$

$!4 = 4! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$

$= 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$

$= 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right) = 9$

3. 最終的な答え

9通り