全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$n(U)=90$, $n(A)=37$, $n(B)=41$, $n(A \cap B)=15$が与えられているとき、$n(A \cup B)$と$n(\overline{A \cup B})$を求める。

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$n(U)=90$, $n(A)=37$, $n(B)=41$, $n(A \cap B)=15$が与えられているとき、$n(A \cup B)$と$n(\overline{A \cup B})$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A \cup B$の要素の個数を求める。

$n(A \cup B)$は、包除原理により、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

で求められる。

与えられた値を代入すると、

$n(A \cup B) = 37 + 41 - 15 = 78 - 15 = 63$

次に、$n(\overline{A \cup B})$を求める。

$n(\overline{A \cup B})$は、$A \cup B$の補集合の要素の個数であり、全体集合$U$の要素の個数から$A \cup B$の要素の個数を引くことで求められる。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(\overline{A \cup B}) = 90 - 63 = 27$

3. 最終的な答え

$n(A \cup B) = 63$

$n(\overline{A \cup B}) = 27$