2次方程式 $x^2 + 2(m+6)x - 8m = 0$ が実数解を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2(m+6)x - 8m = 0$ が実数解を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持たない条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ となることです。

与えられた2次方程式は $x^2 + 2(m+6)x - 8m = 0$ です。

判別式 $D$ は

$D = b^2 - 4ac$

で与えられます。ここで、$a = 1$, $b = 2(m+6)$, $c = -8m$ です。

したがって、

$D = (2(m+6))^2 - 4(1)(-8m)$

$D = 4(m^2 + 12m + 36) + 32m$

$D = 4m^2 + 48m + 144 + 32m$

$D = 4m^2 + 80m + 144$

$D = 4(m^2 + 20m + 36)$

実数解を持たない条件 $D < 0$ より、

$4(m^2 + 20m + 36) < 0$

$m^2 + 20m + 36 < 0$

2次不等式 $m^2 + 20m + 36 < 0$ を解きます。

まず、$m^2 + 20m + 36 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$m = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(1)(36)}}{2(1)}$

$m = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 144}}{2}$

$m = \frac{-20 \pm \sqrt{256}}{2}$

$m = \frac{-20 \pm 16}{2}$

$m = -10 \pm 8$

よって、$m = -10 + 8 = -2$ または $m = -10 - 8 = -18$。

したがって、$m^2 + 20m + 36 < 0$ を満たす $m$ の範囲は $-18 < m < -2$ です。

3. 最終的な答え

$-18 < m < -2$