2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$5\alpha, 5\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$5\alpha, 5\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -2$ かつ $\alpha \beta = 3$ である。

求める2次方程式の解は $5\alpha, 5\beta$ であるから、解と係数の関係の逆より、求める2次方程式は

$(x - 5\alpha)(x - 5\beta) = 0$ と表せる。

これを展開すると、

$x^2 - 5(\alpha + \beta)x + 25\alpha\beta = 0$ となる。

$\alpha + \beta = -2$ かつ $\alpha \beta = 3$ を代入すると、

$x^2 - 5(-2)x + 25(3) = 0$

$x^2 + 10x + 75 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 10x + 75 = 0$