2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$3\alpha, 3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$3\alpha, 3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

2. 解き方の手順

元の2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ について、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -2$$

$$\alpha \beta = 5$$

求める2次方程式の2つの解は $3\alpha, 3\beta$ なので、解と係数の関係より、

$$3\alpha + 3\beta = 3(\alpha + \beta) = 3(-2) = -6$$

$$3\alpha \cdot 3\beta = 9\alpha \beta = 9(5) = 45$$

したがって、求める2次方程式は、

$$x^2 - (3\alpha + 3\beta)x + 3\alpha \cdot 3\beta = 0$$

$$x^2 - (-6)x + 45 = 0$$

$$x^2 + 6x + 45 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + 6x + 45 = 0$