与えられた方程式 $\frac{1}{8}x - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x$ を解き、$4x^2 + 4x - 24$を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $\frac{1}{8}x - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x$ を解き、$4x^2 + 4x - 24$を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、方程式$\frac{1}{8}x - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x$を解きます。

* $x$の項を左辺に、定数項を右辺に移項します。

$\frac{1}{8}x - \frac{3}{4}x = \frac{1}{2} + 2$

* 左辺を通分して計算します。

$\frac{1}{8}x - \frac{6}{8}x = \frac{1}{2} + 2$

$-\frac{5}{8}x = \frac{1}{2} + 2$

* 右辺を通分して計算します。

$-\frac{5}{8}x = \frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

$-\frac{5}{8}x = \frac{5}{2}$

* $x$について解きます。両辺に$-\frac{8}{5}$を掛けます。

$x = \frac{5}{2} \cdot (-\frac{8}{5})$

$x = -4$

次に、二次式$4x^2 + 4x - 24$を因数分解します。

* まず、共通因数4で括ります。

$4x^2 + 4x - 24 = 4(x^2 + x - 6)$

* 次に、括弧の中の二次式を因数分解します。$x^2 + x - 6 = (x + a)(x + b)$となる$a$と$b$を見つけます。$a + b = 1$かつ$ab = -6$となる必要があります。この条件を満たすのは、$a = 3$、$b = -2$です。したがって、

$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$

* したがって、$4x^2 + 4x - 24$の因数分解は次のようになります。

$4(x + 3)(x - 2)$

3. 最終的な答え

方程式$\frac{1}{8}x - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}x$の解は、$x = -4$です。

$4x^2 + 4x - 24$の因数分解は、$4(x + 3)(x - 2)$です。