2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$とするとき、$\alpha + 1$、$\beta + 1$ を解とし、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$とするとき、$\alpha + 1$、$\beta + 1$ を解とし、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ を変形します。両辺に $-1$ をかけて、

$x^2 - 3x - 2 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = -2$

求める2次方程式の2つの解は $\alpha + 1$ と $\beta + 1$ なので、解と係数の関係から、

2つの解の和: $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = \alpha + \beta + 2 = 3 + 2 = 5$

2つの解の積: $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$

したがって、求める2次方程式は、

$x^2 - (2つの解の和)x + (2つの解の積) = 0$

$x^2 - 5x + 2 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 5x + 2 = 0$