2次方程式 $2x^2+x+4=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、 $4\alpha$、$4\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2+x+4=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、 $4\alpha$、$4\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の解と係数の関係を利用して、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$

$\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$

次に、$4\alpha$ と $4\beta$ を解とする2次方程式を考えます。 $x^2$ の係数が 1 であるので、求める2次方程式は

$x^2 - (\text{2つの解の和})x + (\text{2つの解の積}) = 0$

の形になります。

2つの解の和は、

$4\alpha + 4\beta = 4(\alpha + \beta) = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

2つの解の積は、

$(4\alpha)(4\beta) = 16\alpha \beta = 16 \cdot 2 = 32$

したがって、求める2次方程式は、

$x^2 - (-2)x + 32 = 0$

$x^2 + 2x + 32 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x + 32 = 0$