2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、 $2\alpha$, $2\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、 $2\alpha$, $2\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を整理します。

$-x^2 + 4x + 5 = 0$ の両辺に -1 をかけると、

$x^2 - 4x - 5 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = -5$

求める2次方程式の解は $2\alpha, 2\beta$ なので、

解と係数の関係より、

$2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2(4) = 8$

$(2\alpha)(2\beta) = 4\alpha\beta = 4(-5) = -20$

$x^2$ の係数が 1 で、2つの解が $2\alpha, 2\beta$ である2次方程式は、

$x^2 - (2\alpha + 2\beta)x + (2\alpha)(2\beta) = 0$

$x^2 - 8x - 20 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 8x - 20 = 0$