500人に対して3種類の商品A, B, Cの市場調査を行った。商品Aを購入した人は278人、商品Bを購入した人は205人、商品Cを購入した人は188人である。3種類全てを購入した人は18人、どの商品も購入しなかった人は21人である。このとき、2種類以上の商品を購入した人数を求める。

1. 問題の内容

500人に対して3種類の商品A, B, Cの市場調査を行った。商品Aを購入した人は278人、商品Bを購入した人は205人、商品Cを購入した人は188人である。3種類全てを購入した人は18人、どの商品も購入しなかった人は21人である。このとき、2種類以上の商品を購入した人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、少なくとも1つの商品を購入した人の数を求める。これは、全体の人数からどの商品も買わなかった人の数を引けばよい。

$500 - 21 = 479$

次に、商品A, B, Cを購入した人数の合計を計算する。

$278 + 205 + 188 = 671$

この合計には、2種類以上の商品を購入した人が重複して数えられている。2種類以上の商品を購入した人数を求めるために、包除原理を用いる。

A, B, Cのうち少なくとも1つを購入した人の数 = Aの購入者数 + Bの購入者数 + Cの購入者数 - (AとB両方を購入した人数 + AとC両方を購入した人数 + BとC両方を購入した人数) + (AとBとC全てを購入した人数)

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$

ここで、求めるのは2種類以上の商品を購入した人数なので、まず、1種類だけ購入した人数を求める。

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$ より

$479 = 671 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + 18$

$(|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) = 671 - 479 + 18 = 210$

2種類以上購入した人数から3種類全て購入した人数を引くと、ちょうど2種類だけ購入した人数になる。しかし、今回は2種類以上なので、その必要はない。

2種類以上購入した人数の集合を$S$とする。$S = (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) - 2 \times |A \cap B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

$S = 210 - 2 \times 18 + 18 = 210 - 18 = 192$

3. 最終的な答え

192人