1個のサイコロを5回投げるとき、4以下の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを5回投げるとき、4以下の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

サイコロを1回投げるとき、4以下の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。4以下の目が出ない確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。

5回の試行のうち2回、4以下の目が出る確率は、二項分布に従う。

二項分布の公式は以下の通り。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$は試行回数、$k$は成功回数、$p$は成功確率である。

この問題では、$n=5$, $k=2$, $p=\frac{2}{3}$であるので、求める確率は

$P(X=2) = \binom{5}{2} (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^{5-2} = \binom{5}{2} (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^3$

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(X=2) = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{40}{243}$