袋の中に赤い玉が3個、青い玉が3個、白い玉が2個入っている。この中から3個を取り出すとき、何色の玉が何個になるか、その組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

袋の中に赤い玉が3個、青い玉が3個、白い玉が2個入っている。この中から3個を取り出すとき、何色の玉が何個になるか、その組み合わせは何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、すべての玉の合計を計算します。

$3 (\text{赤}) + 3 (\text{青}) + 2 (\text{白}) = 8$ 個

次に、8個の玉から3個を取り出す組み合わせの総数を計算します。これは組み合わせの公式 $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ を使って求められます。

$C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り

ただし、白い玉は2個しかないので、白い玉を3個選ぶことはできません。よって、組み合わせの総数は56通りです。

考えられる組み合わせは以下の通りです。

* 赤3個: $C(3,3) = 1$

* 赤2個、青1個: $C(3,2) \times C(3,1) = 3 \times 3 = 9$

* 赤2個、白1個: $C(3,2) \times C(2,1) = 3 \times 2 = 6$

* 赤1個、青2個: $C(3,1) \times C(3,2) = 3 \times 3 = 9$

* 赤1個、白2個: $C(3,1) \times C(2,2) = 3 \times 1 = 3$

* 赤1個、青1個、白1個: $C(3,1) \times C(3,1) \times C(2,1) = 3 \times 3 \times 2 = 18$

* 青3個: $C(3,3) = 1$

* 青2個、白1個: $C(3,2) \times C(2,1) = 3 \times 2 = 6$

* 白3個: 0 (白玉は2個しかないため)

合計: $1 + 9 + 6 + 9 + 3 + 18 + 1 + 6 = 53$

8個の玉から3個を選ぶので組み合わせの総数は

$C(8,3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り

しかし、白い玉は最大で2個までしか選べません。よって、上記の組み合わせをすべて列挙するのではなく、単に8個から3個を選ぶ組み合わせを計算します。

3. 最終的な答え

56通り