1個のサイコロを投げて、出た目の数が素数のときその数を確率変数 $X$ とし、素数でないときは $X=6$ とする。次に、2枚の硬貨を投げて、表の出た枚数を確率変数 $Y$ とする。このとき、$V(2X+Y)$ と $V(3X-2Y)$ を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げて、出た目の数が素数のときその数を確率変数 $X$ とし、素数でないときは $X=6$ とする。次に、2枚の硬貨を投げて、表の出た枚数を確率変数 $Y$ とする。このとき、$V(2X+Y)$ と $V(3X-2Y)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ と $Y$ の確率分布を求めます。

$X$ について：

サイコロの目が素数（2, 3, 5）となる確率は $3/6 = 1/2$。このとき、$X$ はそれぞれ 2, 3, 5 をとる。

サイコロの目が素数でない（1, 4, 6）となる確率は $3/6 = 1/2$。このとき、$X = 6$ となる。

$X$ の確率分布は次のようになる。

$P(X=2) = 1/6$

$P(X=3) = 1/6$

$P(X=5) = 1/6$

$P(X=6) = 1/2$

$Y$ について：

2枚の硬貨を投げるとき、表の出る枚数 $Y$ は 0, 1, 2 のいずれかである。

$P(Y=0) = (1/2)^2 = 1/4$

$P(Y=1) = 2 \times (1/2) \times (1/2) = 1/2$

$P(Y=2) = (1/2)^2 = 1/4$

次に、$X$ と $Y$ の期待値 $E(X)$ と $E(Y)$ を計算します。

$E(X) = 2 \times (1/6) + 3 \times (1/6) + 5 \times (1/6) + 6 \times (1/2) = 1/3 + 1/2 + 5/6 + 3 = 1/3 + 1/2 + 5/6 + 18/6 = (2+3+5+18)/6 = 28/6 = 14/3$

$E(Y) = 0 \times (1/4) + 1 \times (1/2) + 2 \times (1/4) = 0 + 1/2 + 1/2 = 1$

次に、$X^2$ と $Y^2$ の期待値 $E(X^2)$ と $E(Y^2)$ を計算します。

$E(X^2) = 2^2 \times (1/6) + 3^2 \times (1/6) + 5^2 \times (1/6) + 6^2 \times (1/2) = 4/6 + 9/6 + 25/6 + 36/2 = 4/6 + 9/6 + 25/6 + 108/6 = (4+9+25+108)/6 = 146/6 = 73/3$

$E(Y^2) = 0^2 \times (1/4) + 1^2 \times (1/2) + 2^2 \times (1/4) = 0 + 1/2 + 4/4 = 0 + 1/2 + 1 = 3/2$

次に、$X$ と $Y$ の分散 $V(X)$ と $V(Y)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 73/3 - (14/3)^2 = 73/3 - 196/9 = (219 - 196)/9 = 23/9$

$V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 3/2 - 1^2 = 3/2 - 1 = 1/2$

$V(2X+Y) = 2^2 V(X) + V(Y) + 2 \times 2 Cov(X,Y)$

$X$と$Y$は独立なので、$Cov(X,Y) = 0$

$V(2X+Y) = 4V(X) + V(Y) = 4(23/9) + 1/2 = 92/9 + 1/2 = (184+9)/18 = 193/18$

$V(3X-2Y) = 3^2 V(X) + (-2)^2 V(Y) + 2 \times 3 \times (-2) Cov(X,Y)$

$X$と$Y$は独立なので、$Cov(X,Y) = 0$

$V(3X-2Y) = 9V(X) + 4V(Y) = 9(23/9) + 4(1/2) = 23 + 2 = 25$

3. 最終的な答え

$V(2X+Y) = \frac{193}{18}$

$V(3X-2Y) = 25$